Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Black-Scholes-Merton-Modell

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Begriff (lö)

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fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes-Modell Das Black-Scholes-Modell (gesprochen ˌblæk ˈʃoʊlz)[1] ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt, siehe Abschnitt Preisformeln für das Ergebnis.

Das Modell führte in der Finanzmathematik zu einem Paradigmenwechsel weg von Gleichgewichtsmodellen hin zu einer Theorie arbitragefreier Preise.[2]

Robert C. Merton war ebenfalls essentiell an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, weshalb auch vom Black-Scholes-Merton-Modell gesprochen wird. Tatsächlich wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt; Fischer Black war bereits 1995 verstorben. Black setzte jedoch auch andere Bewertungsakzente als Scholes und Merton.[3]

https://www.gabler-banklexikon.de/definition/black-scholes-modell-56342 Optionspreisbewertungsmodell zur Ermittlung des Fair Value von europäischen Optionen auf Aktien oder Aktienindizes (z.B. Optionen auf den DAX), das 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert C. Merton konzipiert wurde.

https://www.wienerborse.at/wissen/boersenlexikon/buchstabe-b/black-scholes-modell/ Das Black & Scholes-Modell ist das bekannteste mathematische Modell zur theoretischen, fairen Berechnung von Optionspreisen. Das Modell wurde nach dessen amerikanischen Erfindern Fischer Black und Myron Scholes benannt.

eigene Der Begriff bezeichnet:

Begriff bedeutet.

[1] [2] [3] [4] [5] [6]

Bedeutung

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siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

[7] [8] [9] [10] [11] [12]

Berechnung

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes-Modell Das ursprüngliche Modell trifft einige idealisierende Annahmen:[5] 

   Der Preis des Basiswertes, – also der Aktienpreis, folgt einer geometrischen brownschen Bewegung mit konstantem Drift und Volatilität.
   Der Leerverkauf von Finanzinstrumenten ist uneingeschränkt möglich.
   Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern. Alle Finanzinstrumente sind in beliebig kleinen Einheiten handelbar.
   Von Abschluss bis Fälligkeit des Derivats gibt es keine Dividendenzahlung auf die zugrunde liegende Aktie.
   Es gibt keine risikolose Möglichkeit zur Arbitrage (Arbitragefreiheit).
   Finanzinstrumente werden kontinuierlich gehandelt.
   Es existiert ein risikofreier Zinssatz r {\displaystyle r}, der zeitlich konstant und für alle Laufzeiten gleich ist.

In Modellerweiterungen werden auch Dividendenzahlungen, stochastische Zinssätze oder stochastische Volatilitäten betrachtet.

https://www.gabler-banklexikon.de/definition/black-scholes-modell-56342 2. Berechnung: Die folgenden Formeln sind jeweils für den Fall stetiger Verzinsung notiert. Betrachtet man dagegen Zinsfaktoren für den Fall diskreter Verzinsung, so sind die Formeln geeignet anzupassen. a) Fair Value eines europäischen Calls:

MathML (base64):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

wobei: C = Kurs der Call Option (Optionsprämie) S = Kurs des Basiswertes X = Basispreis exp = Exponentialfunktion r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins σ = Volatilität t = Restlaufzeit der Option ln = Logarithmus naturalis

N (d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d,wobei gilt

MathML (base64):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

MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4yPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+PTwvbW8+Cjxtc3ViPgo8bWk+ZDwvbWk+Cjxtbj4xPC9tbj4KPC9tc3ViPgo8bW8+LTwvbW8+CjxtaT7PgzwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bXNxcnQ+CjxtaT50PC9taT4KPC9tc3FydD4KPC9tYXRoPgo= Alternativ kann für d1geschrieben werden:

MathML (base64):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

Im Gegensatz zur obigen Formel wird bei dieser Darstellung der Basispreis der Option abgezinst. N(d1) entspricht dem Delta (Delta-Faktor) einer Option. Mit dieser Formel können nicht nur europäische Call-Optionen bewertet werden, sondern auch amerikanische Call-Optionen, die keine Dividendenzahlungen haben. Da amerikanische Kaufoptionen während der Laufzeit immer eine Zeitprämie haben, würde man sich bei vorzeitiger Ausübung immer schlechter stellen. Das zusätzliche Recht der vorzeitigen Ausübung ist damit wertlos. b) Fair Value einer europäischen Put-Option:

MathML (base64):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

wobei P = Kurs der Put-Option (Optionsprämie) und alle weiteren Symbole wie oben. Die Bewertung einer Put-Option kann auch durch Verwendung der Put-Call-Parität erfolgen. Für den Preis europäischer Optionen gleichen Typs gilt die folgende Parität:

MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5QPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+QzwvbWk+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPlM8L21pPgo8bW8+KzwvbW8+CjxtaT5YPC9taT4KPG1vPuKLhTwvbW8+CjxtaT5lPC9taT4KPG1pPng8L21pPgo8bWk+cDwvbWk+CjxtZmVuY2VkIGNsb3NlPSIpIiBvcGVuPSIoIj4KPG1yb3c+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPnI8L21pPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPnQ8L21pPgo8L21yb3c+CjwvbWZlbmNlZD4KPC9tYXRoPgo=


3. Folgende Prämissen liegen dem Black-Scholes-Modell zugrunde: Es handelt sich um eine europäische Option. Während der Laufzeit der Option dürfen keine Ausschüttungen erfolgen. Es existieren keine Transaktionskosten und Steuern und keine Marktzutrittsbeschränkungen, d.h. der Kapitalmarkt ist vollkommen und vollständig. Damit kann das Hedgeportefeuille kontinuierlich gebildet werden und es existiert ein konstanter Kalkulationsszinssatz. Die logarithmierten Aktienrenditen unterliegen einer Normalverteilung. Die Momentanvarianz der Kursrenditen ist konstant.

4. Sonderfälle: a) Bei einer Volatilität von null vereinfacht sich die Call-Gleichung wie folgt, da sowohl N(d1) als auch N(d2) den Wert 1 haben:

MathML (base64):PG1hdGggeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzE5OTgvTWF0aC9NYXRoTUwiIG1hdGhzaXplPSIyMCI+CjxtaT5DPC9taT4KPG1vPj08L21vPgo8bWk+UzwvbWk+Cjxtbz4tPC9tbz4KPG1pPlg8L21pPgo8bW8+4ouFPC9tbz4KPG1pPmU8L21pPgo8bWk+eDwvbWk+CjxtaT5wPC9taT4KPG1mZW5jZWQgY2xvc2U9IikiIG9wZW49IigiPgo8bXJvdz4KPG1vPi08L21vPgo8bWk+cjwvbWk+Cjxtbz7ii4U8L21vPgo8bWk+dDwvbWk+CjwvbXJvdz4KPC9tZmVuY2VkPgo8L21hdGg+Cg==


b) Werden entgegen der Prämisse Dividenden ausgeschüttet (Black'sche Korrektur), verringert sich der Fair Value der Call-Option, da der Optionshalter im Gegensatz zum Aktionär keine Dividende erhält. Erfolgen während der Laufzeit einer Option Dividendenzahlungen, führt dies zu Kursabschlägen beim Aktienkurs. Dies bedeutet einen Nachteil für die Long-Position eines Call. Andererseits profitiert eine Put-Option von niedrigeren Aktienkursen, so dass der Fair Value einer Put-Option steigt. Im Fall einer ungeschützten Option, d.h. der Optionsinhaber erhält keine Kompensation, muss die Black-Scholes-Formel deshalb modifiziert werden (Black'sche Korrektur). Bei einer geschützten Option erhält der Optionshaber eine Kompensation. Der Basispreis kann hierbei beispielsweise um die Dividendenhöhe verringert werden. Deshalb brauchen Dividendenzahlungen beim Black-Scholes-Modell nicht berücksichtigt zu werden. Die Tabelle Black-Scholes-Modell – Fair Value von Optionen zeigt, für welche Fälle mit dem Black-Scholes-Modell der Fair Value von Optionen ermittelt werden kann. Das Black-Scholes-Modell ist die Basis für das Black-Modell, das zur Bewertung von Optionen auf Futures konzipiert wurde, und wird nicht nur zur Bewertung von europäischen Aktienoptionen, sondern auch zur Ermittlung des Fair Value von Optionsscheinen auf Aktien verwendet. Modifikationen des Black-Scholes-Modells werden u.a. auch zur Bewertung von Devisenoptionen (Garman-Kohlhagen-Modell) verwendet.

Vgl. auch Cox-Ross-Rubinstein-Modell.


eigene

Berechnung[13]

NN[14]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[15]

NN

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 17.11.2025;

[16] [17] [18] [19] [20] [21]

Literatur

Gesetz

Erlässe

Fachgutachten

  • KFS/BW 1 (2014) Rz.
  • IDW S 1 (2018) Rz.

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

  • Aschauer / Purtscher (2023), S. ;
  • Bachl (2018), S. ;
  • Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
  • Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
  • Ihlau / Duscha (2019), S. ;
  • Mandl / Rabel (1997), S. ;
  • WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
  • WPH-Edition (2018), Rz. A ;

Judikatur

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

Tabellen

Sortiert nach Dateiname

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Gesetze und Erlässe, Liste der verwendeten Literatur, Liste englische Fachausdrücke, Liste der verwendeten Abkürzungen, Liste der verwendeten Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks


  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 17.11.2025;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 17.11.2025;

Einzelnachweise

  1. ↑
  2. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  3. ↑ [ Wiktionary, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  4. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  5. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  6. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  7. ↑
  8. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  9. ↑ [ Wiktionary, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  10. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  11. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  12. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  13. ↑ Aus [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  14. ↑ Aus [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  15. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  16. ↑
  17. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  18. ↑ [ Wiktionary, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  19. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  20. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.
  21. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 17.11.2025.

ev [[Kategorie:Bewertung immaterielles Vermögen]] <s>[[Kategorie:internationale Rechnungslegung]] [[Kategorie:Jahresabschlussanalyse]] [[Kategorie:Liegenschaftsbewertung]] </s> [[Kategorie:Mathematischer Begriff]] <s>[[Kategorie:Rechnungswesen]] [[Kategorie:Recht, allgemein]] [[Kategorie:Steuerrecht]] [[Kategorie:Unternehmensbewertung]] [[Kategorie:Unternehmensrecht]] [[Kategorie:Wert]]</s> ev [[Kategorie:Wirtschaftswissenschaft]]

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