Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Statistik: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Statistik''''<ref>Von fr. "statistique" = (Staats)Wissenschaft", dieses baiert auf lat. "status" = "Stand, Beschaffenheit, Umstände, Verfassung"; [https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik Wiktionary, Stichwort: Statisik], abgefragt 3.2.2024.</ref> ist eine auf der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] basierende Methodik zur [[Analyse]] quantitativer Daten. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik#Statisik Wikipedia, Stichwort: Stochastik], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
'''Statistik''''<ref>Von fr. "statistique" = (Staats)Wissenschaft", dieses baiert auf lat. "status" = "Stand, Beschaffenheit, Umstände, Verfassung"; [https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik Wiktionary, Stichwort: Statisik], abgefragt 3.2.2024.</ref> ist eine auf der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] basierende Methodik zur [[Analyse]] quantitativer Daten. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik#Statisik Wikipedia, Stichwort: Stochastik], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
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Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (''Massenphänomenen''). Ihre Aussagen sind auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit Grundgesamtheit] '''ev eigenes Kapitel''' *)<!-- ,als Gesamtheit aller zu beurteilenden Objekte, --> gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (''Vollerhebung''), sondern nur eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Stichprobe]'''ev eigenes Kapitel'''.<ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Statistik], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (''Massenphänomenen''). Ihre Aussagen sind auf die [[Grundgesamtheit]] gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (''Vollerhebung''), sondern nur eine [[Stichprobe]].<ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Statistik], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
 
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== Wissenschaftliche Einordnung ==
 
== Wissenschaftliche Einordnung ==
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Die '''Ökonometrie''' ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Ökonometrie Wikipedia, Stichwort: Ökonometrie], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
Die '''Ökonometrie''' ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Ökonometrie Wikipedia, Stichwort: Ökonometrie], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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<u>Weblinks</u>
 
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ökonometrie Ökonometrie bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
 
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ökonometrie Ökonometrie bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
 
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/oekonometrie-42346 Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/oekonometrie-42346 Ökonometrie bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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=== Wahrscheinlichkeitstheorie ===
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* Synonyme: ''[[]]''
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''' ev erg <!-- (zT) ok -->'''
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'''Wahrscheinlichkeitstheorie''' (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik Mathematik], der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen '''ev Hinweis [[Wahrscheinlichkeit]]''' beschäftigt.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_prob_intro_toc.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf. <ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_prob_intro_toc.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ereignis_(Wahrscheinlichkeitstheorie) zufällige Ereignisse],
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable Zufallsvariablen] und
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastischer_Prozess stochastische Prozesse].
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<u>Weblinks</u>
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/wahrscheinlichkeitsrechnung-48370 Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
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* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_prob_intro_toc.html Wahrscheinlichkeitstheorie bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
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Wikipedia, Stichwort:
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=== Kombinatorik ===
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* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
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''' (zT) ok <!-- ev erg -->'''
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Die '''Kombinatorik''' ist ein Teilgebiet der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt.<ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/kombinatorik-41590 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Kombinatorik], abgefragt 3.2.2024.</ref> Ein Hilfsmittel ist das [https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell Urnenmodell].
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik Kombinatorik bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/kombinatorik-41590 Kombinatorik bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
  
 
=== nn ===
 
=== nn ===
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== Bedeutung ==
 
== Bedeutung ==
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''Hauptartikel-> [[]]''
 
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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  ''' ok <!-- erg (zT) -->'''
  
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* Viele Variablen der Unternehmensbewertung beruhren auf statistishen Daten: [[Marktrisikoprämie]], [[Beta-Faktor]]en
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* Weiters [[Marktdaten]] und [[Volkswirtschaftliche Kennzahl]]en.
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Wikipedia, Stichwort:
 
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Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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Grundlagen Statistik, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
  
 
== Wichtige Kenngrößen ==
 
== Wichtige Kenngrößen ==
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* [[Statistik#Gestaltparameter|Gestaltparameter]]
 
* [[Statistik#Gestaltparameter|Gestaltparameter]]
  
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== Lageparameter ==
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=== Lageparameter ===
 
  ''Hauptartikel-> [[Lageparameter]]''
 
  ''Hauptartikel-> [[Lageparameter]]''
 
* Synonyme: ''[[Lagewert]]''  
 
* Synonyme: ''[[Lagewert]]''  
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'''Box-Plots''' (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.
 
'''Box-Plots''' (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.
  
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== Streuungsparameter ==
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=== Streuungsparameter ===
 
  ''Hauptartikel-> [[Streuungsparameter]]''
 
  ''Hauptartikel-> [[Streuungsparameter]]''
 
* Synonyme: ''Streuungsmaß''
 
* Synonyme: ''Streuungsmaß''
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Die '''Spannweite <math> R </math>''' zeigt die Abweichung zwischen dem [[Maximum|größten]] und dem [[Minimum|kleinsten Messwert]].
 
Die '''Spannweite <math> R </math>''' zeigt die Abweichung zwischen dem [[Maximum|größten]] und dem [[Minimum|kleinsten Messwert]].
  
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== Erwartungswert ==
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=== Erwartungswert ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
 
 
  ''Hauptartikel-> [[Erwartungswert]]''
 
  ''Hauptartikel-> [[Erwartungswert]]''
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<!-- * Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
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''' ok <!-- erg (zT) -->'''
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Der '''Erwartungswert''' spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider.<ref>Kruschwitz u.a. (2009), S. 58.</ref>
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Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. <ref>Vgl. [https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert Wikipedia, Stichwort: Erwartungswert], abgefragt 26.2.2024.</ref>
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=== Gestaltparameter ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Gestaltparameter
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* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
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'''  ok <!-- (zT) -->'''
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Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:
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* [[Statistik#Schiefe|Schiefe]] und
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* [[Statistik#Wölbung|Wölbung]].
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==== Schiefe ====
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Schiefe (Statistik)
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* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
 
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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  ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
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[[Datei:Linksschief.png|mini|Linksschief; ex [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linksschief.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
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[[Datei:Rechtsschief.png|mini|Rechtsschief; ex  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linksschief.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
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Die '''Schiefe''' ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer [[Verteilung]] '''Klammer lö oder verlinken''' (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). <ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/schiefe-45767 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Schiefe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)
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Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.<ref>Formel vgl. [https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik)#Schätzung_der_Schiefe_einer_Grundgesamtheit Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik)], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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Folgende [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustregel] setzt [[Modus]], [[Median]] und [[arithmetisches Mittel]] in Beziehung:[https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik)#Schätzung_der_Schiefe_einer_Grundgesamtheit Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik)], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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* rechtsschief: <math>x_\text{mod} < x_\text{med} < \overline{x} </math>
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* symmetrisch: <math>x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}</math>
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* linksschief: <math>x_\text{mod} > x_\text{med} > \overline{x}</math>
  
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''<u>Kruschwitz ua 58</u>''
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Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer [[Verteilung]]. Da die [[Normalverteilung|Gaußsche Normalverteilung]] symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.
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Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider. Das ist typischerweise jene Realisation, die mit der größten
 
−
Wahrscheinlichkeit l).Uftritt. Daher pflegt man man bei der Unternehmensbewertung
 
−
davon auszugehen, dass die zukünftige Rendite ihrem Erwartungswert entspricht.
 
  
−
Wie aber lässt sich dieser Erwartungswert bestimmen? __ Solange wir nur eine Stiehpf;;-b~ aus alle;-R.~ili~ationen der VerteÜwg'fs. kennen, bleibt uns der Erwartungswert grundsätzlich unbekannt. Wir können ihn bestenfalls schätzen. Hier hilft nun die Annahme weiter, dass die Renditen des zu bewertenden Unternehmens stationär sind. Unter dieser Bedingung können wir nämlich das arithmetische Mittel der beobachteten Renditen verwenden und mit einiger Gewissheit darauf vertrauen, dass dieses arithmetische Mittel einen brauchbaren Anhaltspunkt für den Erwartungswert der Renditen darstellt.79
+
<u>Literatur</u> '''erg oder lö'''
 +
* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
  
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''<u>[[Erwartungswert]] </u>''
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<u>Weblinks</u>
−
Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Umweltzustände multipliziert mit deren Eintrittswahrscheinlichkeit. Er bezeichnet jenen Wert der bei einer großen Anzahl von Versuchen ergibt.[1] Erwartungswert bei Wikipedia, abgefragt am 12.6.2017, '''nicht mehr aktuell''
 
  
−
''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert </u>''
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik) Schiefe (Statistik) bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
−
Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert ist eine Kennzahl einer Zufallsvariablen. Bei einer engeren Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle Zahl und damit endlich; bei einer weiteren Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die Werte ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } zugelassen. Es gibt Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert definiert ist.
+
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/schiefe-45767 Schiefe bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_skewness.html Schiefe bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
  
−
Hat eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert, so wird dieser häufig mit μ {\displaystyle \mu } abgekürzt; er beschreibt dann die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
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==== Wölbung ====
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Wölbung (Statistik)
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<!--  ''Hauptartikel-> [[]]''
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* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
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<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
  
−
Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } immer gleich.
+
''' (zT) ok <!-- erg -->'''
−
Siehe auch: Lageparameter (deskriptive Statistik)
 
  
−
Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein.
+
[[Datei:Steilgipflig.png|mini|Steilgipflig; ex [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flachgipflig.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
  
−
Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.  
+
[[Datei:Flachgipflig.png|mini|Flachgipflig; ex [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steilgipflig.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
  
 +
Die '''Wölbung''' (Kurtosis)  ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer [[Modus|unimodalen]]  (eingipfligen) Verteilung.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Wikipedia, Stichwort: Wölbung (Statistik)], abgefragt 3.2.2024.</ref> Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als ''Exzess'' bezeichnet.
  
−
''<u> </u>''
+
<u>Literatur</u> '''erg oder lö'''
 +
* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
 +
* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
  
−
''<u> </u>''
+
<u>Weblinks</u>
  
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''<u> </u>''
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) Wölbung (Statistik) bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
 +
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_kurtosis.html Kurtosis bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
  
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''<u> </u>''
+
==== <s>mm</s> ====
 +
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
 +
<!--  ''Hauptartikel-> [[]]''
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* Synonyme: ''[[]]''
 +
''siehe auch-> [[]]'' -->
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<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
  
 +
'''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
 +
<!--
 
''<u> </u>''
 
''<u> </u>''
  
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Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 +
-->
  
−
== Gestaltparameter ==
+
== Grundgesamtheit / Stichprobe ==
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=== Hlf (lö) ===
+
=== Hlf Grges ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Gestaltparameter
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':  
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''Hauptartikel-> [[]]''
+
<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
−
''siehe auch-> [[]]''
+
''siehe auch-> [[]]'' -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
  
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  ''' erg <!-- (zT) ok -->'''
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
−
 
 
−
''<u> </u>''
 
−
 
 
−
''<u> </u>''
 
  
 
''<u> </u>''
 
''<u> </u>''
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''<u>eigene </u>''
 
''<u>eigene </u>''
−
Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt: '''ev Verteilung'''
 
−
* Schiefe '''link
 
−
* Wölbung
 
  
 
<s><u>Berechnung</u><ref>Aus  
 
<s><u>Berechnung</u><ref>Aus  
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
−
<!--  
+
 
−
''NN''<ref>Aus  
+
<!-- ''NN''<ref>Aus  
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
Zeile 503: Zeile 570:
 
* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
Microsoft Support, Stichwort:  
 
Microsoft Support, Stichwort:  
−
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
+
], abgefragt 3.2.2024.</ref> -->
  
−
<u>Literatur</u>
+
<s><u>Literatur</u></s>
−
* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
+
<!-- * Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
−
* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
+
* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s> -->
  
−
<u>Weblinks</u>
+
<s><u>Weblinks</u>
  
 
* [
 
* [
Zeile 533: Zeile 600:
 
<ref>[
 
<ref>[
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
−
], abgefragt 3.2.2024.</ref> -->
+
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 +
</s>
  
−
=== Schiefe ===
+
=== Grundgesamtheit ===
−
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Schiefe (Statistik)
+
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Grundgesamtheit
−
''Hauptartikel-> [[]]''
+
<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
−
''siehe auch-> [[]]''
+
''siehe auch-> [[]]'' -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
  
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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  ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
  
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''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik) </u>''
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<s>''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit </u>'' </s>
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Die Schiefe (englisch skewness bzw. skew) ist eine statistische Kennzahl, die die Art und Stärke der Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (rechtssteil, linksschief, negative Schiefe) oder nach links (linkssteil, rechtsschief, positive Schiefe) geneigt ist.  
+
<!-- Die Grundgesamtheit (auch Population, statistische Masse, Kollektiv oder Gesamterhebungsumfang[1][2]) ist ein Begriff der Statistik. Die Grundgesamtheit bezeichnet diejenige Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen werden soll.[3] Grundgesamtheiten werden häufig nur unvollständig erfasst und lediglich näherungsweise beschrieben, etwa durch eine Teilerhebung in der deskriptiven Statistik oder eine stichprobenhafte Erhebung mittels der Stochastik.
  
−
;Schätzung der Schiefe einer Grundgesamtheit
+
;Definition
−
Zur Schätzung der unbekannten Schiefe γ m {\displaystyle \gamma _{m}} einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ( n {\displaystyle n} der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:
 
−
'''kurz:'''
 
−
Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.<ref>Formel vgl. [https://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_(Statistik)#Schätzung_der_Schiefe_einer_Grundgesamtheit Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik)], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
  
−
;Lage von Mittelwert und Median
+
In der Statistik bezeichnet die Grundgesamtheit die Menge aller statistischen Einheiten (auch Merkmalsträger, Untersuchungseinheiten, Erhebungseinheiten)[4][5] mit übereinstimmenden Identifikationskriterien (sachlich, räumlich und zeitlich).[1] Die statistische Einheit ist Träger der Informationen für die statistische Untersuchung. Statistische Einheiten können natürliche Einheiten (Personen, Tiere, Pflanzen, Werkstücke), aber auch künstliche Einheiten, zum Beispiel sozio-ökonomische Einheiten (Familien, Haushalte, Unternehmen) oder Ereignisse, sein.[4][6]
−
Auf [[Karl Pearson]] geht die Definition
 
  
−
:<math> S = \frac{ \mu - x_{\text{med}}}{\sigma} </math>
+
„Eine Grundgesamtheit kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten. Theoretische Grundgesamtheiten sind oft (überabzählbar) unendlich, wie z. B. bei stetigen Zufallsvariablen. Reale Grundgesamtheiten sind meistens sehr groß, aber immer endlich.“[7] Dementsprechend unterscheidet man auch endliche Grundgesamtheiten und unendliche Grundgesamtheiten. Man spricht auch von einer geschlossenen Grundgesamtheit und einer offenen Grundgesamtheit.[8] „Die endliche Grundgesamtheit wird als eine geschlossene, die unendliche als eine offene bezeichnet.“[9]
  
−
mit dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, dem [[Median]] <math>x_{\text{med}}</math> und der [[Standardabweichung]] <math>\sigma</math> zurück. <s>Der [[Median#Eigenschaften|Wertebereich von S]] ist das Intervall <math>[-1,1]</math>.</s> Für symmetrische Verteilungen ist <math>S = 0</math>. Rechtsschiefe Verteilungen besitzen häufig ein positives <math>S</math>, es gibt jedoch Ausnahmen von dieser Faustregel.
+
;erhebung
 +
Die vollständige Erfassung von Grundgesamtheiten ist mittels der deskriptiven Statistik möglich. Sie wird auch als Vollerhebung oder Totalerhebung[10] bezeichnet, wobei der Begriff Erhebung in diesem Fall irreführend ist, da er aus der Empirie stammt.  
  
−
Wenn die Standardabweichung divergiert, kann die Pearsonsche Definition verallgemeinert werden, indem eine Verteilung rechtsschief bezeichnet wird, wenn der Median kleiner als der Erwartungswert ist. <s>In diesem Sinn ist die Pareto-Verteilung für beliebigen Parameter <math>k > 1</math> rechtsschief.</s>
+
Grundgesamtheiten sind oftmals sehr groß und nur mit großem Aufwand oder gar nicht erfassbar. Wird die vollständige Erfassung mittels der deskriptiven Statistik nicht erreicht, spricht man von einer Teilerhebung.[11]
  
−
;Deutung ==
+
;Erhebung mittels Stochastik
 +
Um Grundgesamtheiten, die nicht vollständig erfasst wurden, zumindest näherungsweise zu beschreiben, werden Methoden der Stochastik, insbesondere der mathematischen Statistik, angewendet. Dabei wird auf Basis der Datenerhebung aus einer Stichprobe, die für die Grundgesamtheit als repräsentativ angenommen wird, auf die tatsächliche, gesuchte Grundgesamtheit geschlossen. Diese wird in der empirischen Forschung unter anderem als Population oder Zielpopulation (englisch target population) bezeichnet.
  
−
Ist <math>\gamma_p>0</math>, so ist die Verteilung ''rechtsschief'',
+
Zum Beispiel wird in der Wahlforschung nicht die gesamte wahlberechtigte Bevölkerung nach ihrer Parteienpräferenz befragt, sondern eine Stichprobe erhoben, die in ihren Eigenschaften (Alter, Geschlecht, Wohnsitz usw.) die Verhältnisse widerspiegelt, die in der Grundgesamtheit vorliegen. Die durch Befragung mittels Stichprobe erfassten Daten werden mit Hilfe statistischer Verfahren auf die Grundgesamtheit hochgerechnet und ergeben so eine Wahlprognose. -->
−
ist <math>\gamma_p<0</math>, ist die Verteilung ''linksschief''. Für gutartige Verteilungen gilt: Bei rechtsschiefen Verteilungen sind Werte, die kleiner sind als der Mittelwert, häufiger zu beobachten, so dass sich der Gipfel ([[Modus (Statistik)|Modus]]) links vom Mittelwert befindet; der rechte Teil des Graphs ist flacher als der linke. Gilt <math>\gamma_p=0</math>, so ist die Verteilung auf beiden Seiten ausgeglichen. Bei symmetrischen Verteilungen ist immer <math>\gamma_p=0</math>. Umgekehrt müssen Verteilungen mit <math>\gamma_p=0</math> nicht symmetrisch sein.
 
  
−
Als Faustregeln kann man für gutartige Verteilungen also festhalten:
+
<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/grundgesamtheit-35039 </u>'' </s>  
−
* rechtsschief: <math>x_\text{mod} < x_\text{med} < \overline{x} </math>
+
<!-- ;Statistik
−
* symmetrisch: <math>x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}</math>
 
−
* linksschief: <math>x_\text{mod} > x_\text{med} > \overline{x}</math>
 
−
 
 
−
Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Da die [[Normalverteilung|Gaußsche Normalverteilung]] symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z.&nbsp;B. den [[Kolmogorow-Smirnow-Test]].)
 
  
−
''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/schiefe-45767 </u>''
+
Ausgangsgesamtheit, Kollektiv, Population, statistische Masse; Menge aller Elemente, auf die ein Untersuchungsziel in der Statistik gerichtet ist. Die Grundgesamtheit bedarf einer exakten sachlichen, räumlichen und zeitlichen Abgrenzung (falsche Abgrenzung: Coverage-Fehler). Bei Stichprobenverfahren ist Grundgesamtheit der Gegenbegriff zu Stichprobe (Teilerhebung); die Resultate der Stichprobe werden (Schätzung) auf die Grundgesamtheit übertragen. -->
−
in der Statistik Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet linkssteile (rechtsschiefe) und rechtssteile (linksschiefe) Verteilungen (Diagramme). Bei linkssteilen Verteilungen ist der Median kleiner als der Erwartungswert, bei rechtssteilen Verteilungen ist es umgekehrt. Es gibt Maßzahlen zur Kennzeichnung der Schiefe, die aber kaum praktische Bedeutung haben (Moment).
 
  
−
''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_skewness.html </u>''
+
<s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html </u>'' </s> <!--
−
Eine Verteilung wird rechtsschief (bzw. linkssteil) genannt, wenn der Hauptanteil der Verteilung auf der linken Seite konzentriert ist. Für linksschiefe (bzw. rechtssteile) Verteilungen gilt dasselbe für die rechte Seite der Verteilung. Der Grad der Schiefe (engl. skewness) wird durch das dritte Moment der Verteilung bestimmt:
+
In der angewandten Statistik müssen wir streng zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe unterscheiden. Stellen Sie sich eine Schachtel mit 500 Kugeln in drei verschiedenen Farben vor. Diese Menge an Kugeln wird als Grundgesamtheit (engl. population) bezeichnet. Maße der beschreibenden Statistik, z.B. der Mittelwert oder die Standardabweichung oder in unserem Beispiel die Zahl der roten, grünen und blauen Kugeln, werden Parameter genannt, wenn sie aus der Grundgesamtheit berechnet werden. Wenn aus der Schachtel 50 Kugeln ausgewählt werden, also eine Teilmenge der Grundgesamtheit erstellt wird, wird diese Menge von 50 Kugeln Stichprobe genannt. Ein beschreibendes Maß, das sich auf eine Stichprobe bezieht, - hier die Zahl der roten Kugeln aus der Stichprobe von 50 Kugeln - wird als Schätzwert (engl. estimate, oder statistic) bezeichnet.(1) Parameter werden durch griechische Buchstaben dargestellt, Schätzer durch lateinische.
  
−
Diese Formel für die Schiefe der Stichprobe ist ein nicht erwartungstreuer Schätzer der Schiefe der Grundgesamtheit. Um die Schiefe für die Population zu schätzen verwendet man daher folgende Formel:
+
Eine '''Grundgesamtheit''' ist die Menge aller möglichen Objekte über die man <s>im Zuge einer statistischen Erhebung</s> eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein.  
  
−
Um zu testen, ob die berechnete Schiefe tatsächlich auf eine schiefe Verteilung schließen lässt, berechnet man folgende Testgröße:
+
Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein <s>(was manchmal gar nicht einfach ist)</s>. Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.
  
−
Übersteigt diese das (1-α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung, so kann man die Annahme der Symmetrie auf einem Signifikanzniveau von α verwerfen. Für diesen Test sollte n größer als 100 sein.
+
In unserem Beispiel mit den 500 Kugeln in der Schachtel ist die Größe der Grundgesamtheit begrenzt. In vielen Fällen - besonders bei realen Messungen - ist die Größe der Grundgesamtheit unbegrenzt, so z.B. die Konzentration von Kohlendioxid in der Luft (gemessen mit einem analytischen Messgerät). Die Grundgesamtheit ist die (unendliche) Menge aller (möglichen) Messungen (= Ergebnisse, die durch das analytische Instrument erhalten werden können).
  
−
Hinweis: In manchen Statistikprogrammen wird die oben berechnete Testgröße Zn als "standardisierte Schiefe" bezeichnet. Als Faustregel gilt, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit eine schiefe Verteilung vorliegt, wenn die standardisierte Schiefe kleiner als -2 bzw. größer als +2 ist.
+
Ein anderes Beispiel für eine Grundgesamtheit wäre die Menge aller österreichischen Schüler der 3. Klasse Volksschule. Diese Grundgesamtheit ist begrenzt, aber sehr groß. -->
  
−
Bitte beachten Sie, dass die Schiefe manchmal durch unterschiedliche Formeln definiert wird, was zu veschiedenen Schiefemaßen führt.
 
−
 
−
Unten finden Sie zwei Beispiele von schiefen Verteilungen. Sie können das folgende interaktive Beispiel starten, um den Effekt von schiefen Verteilungen auf den Mittelwert und den Median zu beobachten.
 
−
 
−
''<u>ex [[Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Modalwert]] </u>'' <s> </s> <!--  -->
 
−
<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Modus_(Statistik) </u>
 
−
Folgende [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustregel] setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung: '''zur Verteilung+ Hinweise'''
 
−
 
−
* rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
 
−
* linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
 
−
* unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel
 
  
 
''<u> </u>''
 
''<u> </u>''
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''<u>eigene </u>''
 
''<u>eigene </u>''
−
[[Datei:Linksschief.png|mini|Linksschief; ex [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linksschief.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
+
Eine '''Grundgesamtheit''' ist die Menge aller möglichen Objekte über die man <s>im Zuge einer statistischen Erhebung</s> eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein <s>(was manchmal gar nicht einfach ist)</s>. Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.<ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
−
[[Datei:Rechtsschief.png|mini|Rechtsschief; ex  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linksschief.svg wikimedia], erst. [https://commons.wikimedia.org/wiki/User:PhysikingerC PhysikingerC].]]
+
Die Grundgesamtheit kann erhoben werden:
−
 
+
* Vollerhebung oder
−
<u>Berechnung</u><ref>Aus
+
* Stichprobe.
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
  
 +
<s><u>Berechnung</u><ref>Aus
 +
], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
 +
<!--
 
''NN''<ref>Aus  
 
''NN''<ref>Aus  
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
Microsoft Support, Stichwort:  
 
Microsoft Support, Stichwort:  
−
], abgefragt 3.2.2024.</ref>
+
], abgefragt 3.2.2024.</ref> -->
  
−
<u>Literatur</u>
+
<s><u>Literatur</u></s>
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* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
+
<!-- * Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
+
* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s> -->
  
 
<u>Weblinks</u>
 
<u>Weblinks</u>
  
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* [
+
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit Grundgesamtheit bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
−
NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
+
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/grundgesamtheit-35039 Grundgesamtheit bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
−
* [
+
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
−
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 
−
* [
 
−
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
 
−
* [
 
−
NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
 
  
−
<ref>
+
<s><ref>
 
</ref>
 
</ref>
 
<ref>[
 
<ref>[
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<ref>[
 
<ref>[
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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], abgefragt 3.2.2024.</ref></s>
  
−
=== Wölbung ===
+
=== Stichprobe ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Wölbung (Statistik)
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Stichprobe
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''Hauptartikel-> [[]]''
+
<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]''
+
''siehe auch-> [[]]'' -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
  
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
+
  ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
 +
 
 +
''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe </u>'' <s></s> <!--  -->
 +
<!-- <s>Als Stichprobe bezeichnet man entweder[1]
 +
* eine Teilmenge einer Grundgesamtheit (Population), die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgewählt wurde
 +
* oder eine Multimenge von Realisierungen einer Zufallsvariablen, welche einer Verteilung folgt.</s>
 +
 
 +
Typischerweise wird die Stichprobe Untersuchungen bzw. Erhebungen unterzogen, deren Ergebnisse etwas über die Grundgesamtheit oder Verteilung, der die Stichprobe entnommen wurde, aussagen sollen.
 +
 
 +
Eine Stichprobenerhebung (Teilerhebung) als Alternative zur Vollerhebung wird angewandt, wenn die Untersuchung aller Individuen oder Objekte einer Grundgesamtheit nicht praktikabel ist. Das ist bei sehr umfangreichen Grundgesamtheiten der Fall oder dann, wenn die Stichprobenelemente durch die Untersuchung unbrauchbar gemacht werden, wie es vielfach bei der Qualitätsprüfung der Fall ist. Jede Stichprobe ist durch zwei Merkmale gekennzeichnet: ihre Größe (Stichprobenumfang, Stichprobengröße) und das verwendete Auswahlverfahren (Stichprobenart). Soll die Stichprobe repräsentativ für ihre Grundgesamtheit sein, muss das angewandte Auswahlverfahren bestimmte Bedingungen erfüllen und eine Mindeststichprobengröße vorhanden sein. Besondere Bedeutung hat hier die Zufallsstichprobe.[2]  -->
 +
 
 +
;Auswahlverfahren<!--
 +
Ein Pkw wird in einer Stichprobe einer Rauschgiftfahndung unterzogen. Von einer Zufallsstichprobe spricht man, wenn z. B. jeder zehnte Wagen überprüft wird und man annimmt, die Wagen kämen in zufälliger Reihenfolge. Eine systematische Auswahl wäre die Überprüfung aller roten Fahrzeuge. Eine willkürliche Auswahl wäre es, wenn der Beamte ohne Kriterien Fahrzeuge auswählt.
 +
 
 +
Ein Auswahlverfahren bei der Stichprobenauswahl ist die Art und Weise, wie die Elemente der Stichprobe möglichst zweckmäßig ausgewählt werden. Es gibt verschiedene Auswahlverfahren, die nachfolgend beschrieben werden. Stichproben, die nicht durch Zufallsauswahl entstanden sind, werden allgemein als nichtprobabilistische Stichprobe bezeichnet.  -->
 +
 
 +
;Zufallsauswahl
 +
<!--
 +
Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll, d. h. wenn von ihr nach dem Induktionsprinzip auf die Grundgesamtheit geschlossen werden soll (siehe auch Hochrechnung). Mit Zufallsstichproben wird in Anwendungen der Statistik häufig gearbeitet (etwa in der naturwissenschaftlichen, medizinischen und psychologischen Forschung, bei Qualitätskontrollen oder in der Marktforschung), da es oft nicht möglich ist, die Grundgesamtheit (etwa die Gesamtbevölkerung oder alle Exemplare eines bestimmten Produkts) zu untersuchen.
 +
 
 +
Nur bei Zufallsauswahlen sind streng genommen die Methoden der induktiven Statistik anwendbar. Die Art der Probenahme hat Einfluss auf die Aussagekraft.
 +
 
 +
Bei einer Zufallsauswahl (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl oder Random Sample genannt) hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche) Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Die Kombinatorik kann Anhaltspunkte für sinnvolle Auswahlmethoden geben.
 +
 
 +
In der Empirie werden mehrere Zufallsstichprobenverfahren unterschieden, zum Beispiel
 +
 
 +
    einstufige und mehrstufige Verfahren (Stufung)
 +
    geschichtete Zufallsstichprobe (Schichtung)
 +
    Klumpenstichprobe (Klumpung)
 +
 
 +
In der Meinungsforschung werden die Auskunftgebenden zum Beispiel mit dem Random-Route-Verfahren und dem Schwedenschlüssel ausgewählt. Eine weitere Möglichkeit ist das RLD-Verfahren.  -->
 +
 
 +
;Bewusste Auswahl
 +
<!--
 +
Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt. Die Auswahl erfolgt anhand von Listen und festgelegten Regeln. Mathematisch-statistische Modelle, etwa die Berechnung der Einschlusswahrscheinlichkeit, sind bei bewussten Auswahlen nicht anwendbar. Systematische Auswahlverfahren kommen zum Beispiel im kommerziellen Bereich (Markt- und Meinungsforschung) vor, wenn echte Zufallsstichproben zur Sicherung von Repräsentativität (im Sinne von Bevölkerungsrepräsentativität) zu aufwändig sind. Meist wird dann versucht, die Zusammensetzung der Bevölkerung näherungsweise durch Quotierung zentraler soziodemografischer Merkmale abzubilden (siehe Quotenstichprobe). Sowohl in der akademischen als auch in der kommerziellen Forschung sind Stichproben mit bewusstem Auswahlverfahren aus forschungsökonomischen Gründen häufiger anzutreffen als echte Zufallsstichproben.
 +
 
 +
In der qualitativen Sozialforschung werden grundsätzlich keine Zufallsstichproben eingesetzt. Alle Stichproben erfolgen nach bewusster (willkürlicher) Auswahl. Das wichtigste Auswahlverfahren für Stichproben in der qualitativen Sozialforschung ist die so genannte Theoretische Stichprobenziehung (Theoretical Sampling), bei der Elemente bewusst gemäß theoretischen Vorüberlegungen in die Stichprobe aufgenommen werden.  -->
 +
 
 +
;Willkürliche Auswahl<!-- 
 +
 
 +
Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschenden (der Fragesteller sucht beispielsweise einzelne Passanten aus) oder der Probanden (die Befragten nehmen aus eigenem Antrieb an einer Befragung teil, siehe Selbstselektion). Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind.
 +
 
 +
Willkürliche Stichproben können im Hinblick auf ihre Vergleichbarkeit mit der Population große Verzerrungen aufweisen. Trotz mangelnder Repräsentativität erbringen auch willkürlichen Stichproben einen Erkenntnisgewinn, solange die Ergebnisse nicht unzulässig generalisiert werden.
 +
 
 +
Beispiel: Als Stichprobe der Studierenden einer Hochschule werden die Teilnehmer einer bestimmten Vorlesung herangezogen. Die Studierenden der konkreten Vorlesung sind jedoch nicht repräsentativ für die Studierendenschaft des Studiengangs oder der entsprechenden Hochschule.
 +
 
 +
Beispiel 2: Fragesteller suchen sich in einer Fußgängerzone beliebige Passanten heraus, die sie befragen. Bei der Auswahl spielen also persönliche Präferenzen der Fragesteller eine Rolle. Zur Verbesserung der Repräsentativität müssten die Fragesteller die Passanten an einer übersichtlichen Stelle abzählen und jede so-und-so-vielte Person befragen.
 +
 
 +
Beispiel 3: Das Unternehmen Civey führt Online-Befragungen durch, indem die Besucher einer größeren Anzahl von Internetseiten durch ein eingeblendetes Werbe-Banner aufgefordert werden, an der Umfrage teilzunehmen. Die Teilnehmer suchen sich sozusagen selber aus. Überrepräsentiert sind dann Personen, die am Thema der Umfrage interessiert sind.  -->
 +
 
 +
<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stichprobe-44243 </u>'' </s> <!--
 +
Teilmenge einer Grundgesamtheit, die für eine Untersuchung ausgewählt wird.
 +
 
 +
I.w.S.: Durchführung und Ergebnis einer Teilerhebung.
 +
 
 +
I.e.S.: Synonym für Zufallsstichprobe. -->
 +
 
 +
<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilerhebung-47171 </u>'' </s>
 +
<!-- Begriff der Statistik für eine Erhebung, bei der nur ein Teil der Grundgesamtheit untersucht wird (Teilgesamtheit); damit ergibt sich eine Stichprobe i.w.S. Teilerhebungen sind kostengünstiger als Vollerhebungen; bei unendlichen Grundgesamtheiten oder bspw. einer zerstörenden Prüfung sind nur Teilerhebungen möglich. Je nachdem, nach welchem Auswahlverfahren die Teilerhebung erfolgt, ist die Übertragung von Ergebnissen der Teilerhebung auf die Grundgesamtheit (Hochrechnung) mehr oder minder problematisch. Ist diese Übertragung möglich, so ist die Stichprobe repräsentativ (Repräsentativität). -->
 +
 
 +
<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilgesamtheit-48910 </u>'' </s> <!--
 +
Teilmenge jeder Art einer Grundgesamtheit, z.B. Stichprobe i.w.S. (Teilerhebung), '''Schicht, Klumpen.''' -->
 +
 
 +
<s>''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/zufallsstichprobe-49501 </u>'' </s> <!--
 +
Ergebnis einer nach Zufallsauswahl (Auswahlverfahren) durchgeführten Teilerhebung. Da Zufallsstichproben nur zufallsabhängig sind, können ihre Kenngrößen mit Methoden der Inferenzstatistik auf die Grundgesamtheit übertragen werden (Hochrechnung). Eine Zufallsstichprobe wird daher als repräsentativ für die Grundgesamtheit bezeichnet. -->
 +
 
 +
<s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html </u>'' Grundgesamtheit und Stichprobe </s> <!--
 +
Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt. -->
 +
 
 +
''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html </u>'' <s></s>
 +
<!-- Eine Stichprobe ist eine Untermenge der Grundgesamtheit, ein Satz von n Zuständen einer Zufallsvariablen. Normalerweise sind statistische Daten Stichproben. Trotzdem sind die meisten statistischen Techniken für Grundgesamtheiten entwickelt worden. Das bringt mehrere Aspekte mit sich, über die man sich Gedanken machen sollte, wenn man mit statistischen Daten arbeitet:
 +
 
 +
    (1) Die Gleichungen, die für Grundgesamtheiten abgeleitet werden, gelten nicht für Stichproben, wenn die Zahl der Proben klein ist. In vielen Fällen gibt es spezielle Formeln für Stichproben, die immer dann verwendet werden sollten, wenn man einen statistischen Deskriptor für die Stichprobe berechnen muss. So ist zum Beispiel die Formel zur Berechnung der Varianz für Stichproben eine andere, als die für Grundgesamtheiten:
 +
 
 +
   
 +
    für Populationen für Stichproben '''formeln ergänzen!'''
 +
 
 +
    (2) Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population.
 +
 
 +
    (3) Die Verteilung der beprobten Daten könnte von der Verteilung der Originaldaten abweichen. Das ist speziell dann der Fall, wenn die Stichproben durch automatische Messgeräte mit unbekannter Vorverarbeitung der Daten gewonnen wurden (z.B. automatische Durchschnittsbildung bei der Datenerfassung). -->
  
−
''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6lbung_(Statistik) </u>''
+
<s>''<u>http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sampling.html </u>'' Repräsentative Stichproben </s>
−
Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]
+
<!-- Das Ziehen von repräsentativen Stichproben kann einigen Aufwand erfordern. Ein Experimentator sollte sich immer fragen, ob die gezogenen Stichproben für die fragliche Grundgesamtheit repräsentativ sind. Einige Beispiele sollen das erläutern:
  
−
ev Dateien: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steilgipflig.svg Steilgipflig] und [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flachgipflig.svg Flachgipflig] '''hochladen'''
+
<s>    Ist man als Chemiker für die Überprüfung der Erzqualität einer Wagenladung Eisenerz verantwortlich, muss man sicher sein, dass die gezogene Stichprobe aus der Ladung repräsentativ für die gesamte Menge an Erz ist.
 +
    Nehmen Sie an, Sie wären Forscher und an Informationen über die Nutzung des Autos in verschiedenen Ländern interessiert. Während die Bestimmung einer Zufallsstichprobe der französischen Grundgesamtheit durch zufällige Auswahl der Leute nach dem Telefonbuch noch funktionieren kann (so gut wie alle Bewohner Frankreichs haben Telefon), ist das bei der Auswahl der Stichprobe in Bangladesch sicher nicht der Fall.
 +
    Bei einer Umfrage des Literary Digest über den Ausgang der Präsidentenwahl in den USA von 1936 (Landon gegen Roosevelt) nahmen die meisten an, dass Landon siegen würde. In Wirklichkeit gewann jedoch Roosevelt. Das Abstimmungsergebnis teilte sich entlang einer ökonomischen Linie. Reichere favorisierten Landon, ärmere Leute Roosevelt. Die Stichproben für die Untersuchung wurden mittels eines Telefonbuchs ausgewählt, was in einer nicht repräsentativen Stichprobe endete. (1936 tendierten Telefonbesitzer dazu, reicher zu sein als die allgemeine Bevölkerung. Daher bevorzugte dieses Probenziehen Wähler von Landon und vernachlässigte die Wähler Roosevelts.)</s>
  
−
;Exzess
 
−
Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die β 2 = 3 \beta_2=3 gilt. Der Exzess (auch: Überschusswölbung oder Überkurtosis) ist daher definiert als
 
  
−
    γ = Exzess = β 2 − 3 {\displaystyle \gamma =\operatorname {Exzess} =\beta _{2}-3}
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Eine Voraussetzung für repräsentative Stichproben ist, dass der Vorgang des Probenziehens zufällig erfolgt. Ein Beispiel soll das erläutern:
  
−
Mittels der Kumulanten ergibt sich
+
Ein Gärtner ändert seine Methode der Tulpenkultivierung. Um zu erfahren, ob die neue Methode erfolgreich ist, werden einige statistische Tests durchgeführt. Da die Größe der Tulpengrundgesamtheit (= alle verfügbaren Tulpen) ungefähr 4000 ist, entscheidet sich der Gärtner für eine Auswahl von 100 Blumen, um einen Schätzer der durchschnittlichen Länge der neu kultivierten Population zu berechnen.
  
−
    γ = κ 4 Var ⁡ ( X ) 2 \gamma ={\frac {\kappa _{4}}{\operatorname {Var}(X)^{2}}}
+
Wie kann der Gärtner aus 4000 Blumen 100 auswählen, ohne die Messung durch subjektiven Einfluss zu verzerren? Beachten Sie: Probenziehen nach persönlichen "Standards" verursacht aus psychologischen Gründen fast immer Fehler. Vielleicht ist der Gärtner von der neuen Methode überzeugt oder verwirft sie aus bestimmten Gründen. Sogar wenn er versucht, objektiv zu bleiben, ist es fraglich, ob nicht dennoch unbewusste Manipulation des Probenziehens auftreten kann.
  
−
Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.
+
Eine übliche Methode, um repräsentative Stichproben zu schaffen, ist der Gebrauch von Zufallszahlen für die Auswahl von individuellen Testobjekten:
  
 +
    Weisen Sie jedem Objekt eine fortlaufende Nummer zu.
 +
    Berechnen Sie so viele Zufallszahlen, wie es die Stichprobe erfordert. Wenn Sie keinen zuverlässigen Zufallszahlengenerator haben, verwenden Sie Zufallszahlen aus einer Tabelle.
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    Wählen Sie die Objekte mit der korrespondierenden Nummer aus.  -->
  
 
''<u> </u>''
 
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''<u> </u>''
 
''<u> </u>''
  
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''<u> </u>''
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''<u>eigene </u>'' <s></s> <!--  -->
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http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html
 +
Eine '''Stichprobe''' ist eine Teilmenge der [[Grundgesamtheit]]; ihre Größe ist immer begrenzt. <ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 +
 
 +
Die Formeln der Grundgesamtheit gelten nicht für die Stichprobe. <ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 +
 
 +
Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine ''repräsentative Stichprobe'' zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population. <ref>[http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
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''<u> </u>''
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Auswahl der Stichprobe:<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Wikipedia, Stichwort: Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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* Zufallsstichprobe
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* systematische Auswahl
 +
* willkürliche Auswahl
  
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''<u> </u>''
+
Bei einer ''Zufallsauswahl'' <s>(auch Wahrscheinlichkeitsauswahl oder Random Sample genannt)</s> hat jedes Element der Grundgesamtheit <s>eine angebbare (meist</s> die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Wikipedia, Stichwort: Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref> Aus einer repräsentativen Stichprobe kann eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Hochrechnung Hochrechnung], dh eine geschätzte Extrapolation eines Gesamtergebnisses aus einem Teilergebnis, vorgenommen werden.
 +
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Bei einer ''systematischen Stichprobenziehung'' werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt,<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Wikipedia, Stichwort: Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref> zB wenn die Kundenwünsche erhoben werden sollen, kann man sich auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Zielgruppe Zielgruppe] beschränken.
  
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''<u>eigene </u>''
+
Bei ''willkürlichen Stichproben'' werden Elemente aus der Grundgesamtheit <s>(etwa von einem Interviewer)</s> mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschers <s>(der Fragesteller sucht beispielsweise einzelne Passanten aus) oder der Probanden (die Befragten nehmen aus eigenem Antrieb an einer Befragung teil, siehe Selbstselektion).</s> Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind, weisen aber oft große Verzerrungen auf. <ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Wikipedia, Stichwort: Stichprobe], abgefragt 3.2.2024.</ref>
  
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<u>Berechnung</u><ref>Aus  
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<s><u>Berechnung</u><ref>Aus  
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''NN''<ref>Aus  
 
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
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Microsoft Support, Stichwort:  
 
Microsoft Support, Stichwort:  
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<u>Literatur</u>
 
<u>Literatur</u>
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* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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<!-- * Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s> -->
  
 
<u>Weblinks</u>
 
<u>Weblinks</u>
  
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* [
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe Stichprobe bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
+
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stichprobe-44243 Stichprobe bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
−
* [
+
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
−
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
+
* [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html Stichprobe bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
−
* [
 
−
NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
 
  
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Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
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=== mm ===
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=== <s>mm</s> ===
 
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':  
 
<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':  
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  ''Hauptartikel-> [[]]''
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<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
 
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
 
  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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<u>Weblinks</u>
 
<u>Weblinks</u>
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* [
 
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Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
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== FS ==
 
== (Wahrscheinlichkeits)Verteilung ==
 
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=== Hlf Vert (lö) ===
 
=== Hlf Vert (lö) ===
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== Statistische Fehler ==
 
== Statistische Fehler ==
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=== Hlf StatFehl ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'': Alpha-Fehler, Beta-Fehler, Entscheidungsfehler,
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':  
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<!-- ''Hauptartikel-> [[]]''
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''Hauptartikel-> [[]]''
 
 
* Synonyme: ''[[]]''
 
* Synonyme: ''[[]]''
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''siehe auch-> [[]]''
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''siehe auch-> [[]]'' -->
 
<small> </small> <u> </u> <s> </s> <!--  -->
 
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  '''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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  ''' (zT) ok <!-- erg -->'''
  
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''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Fehler_1._und_2._Art </u>''
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Eine ''Hypothese'' beizeichnet in der Statistik eine Annahme, die mit Methoden der mathematischen Statistik auf Basis empirischer Daten geprüft wird. Dabei können zwei '''Entscheidungsfehler''' unterlaufen:
−
Die Fehler 1. und 2. Art, auch α-Fehler (Alpha-Fehler) und β-Fehler (Beta-Fehler) genannt, bezeichnen eine statistische Fehlentscheidung bei statistischen Tests. Sie beziehen sich auf eine Methode der mathematischen Statistik, den sogenannten Hypothesentest. Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf einer zufällig erhöhten bzw. niedrigeren Anzahl positiver Ergebnisse). Dagegen bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise nicht zurückweist, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. Die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art (auch α- und β-Risiko genannt) werden in Qualitätsmanagement und -kontrolle häufig Produzentenrisiko und Konsumentenrisiko genannt (siehe Prüflos). In der statistischen Prozesslenkung durch Qualitätsregelkarten verwendet man dafür die Begriffe blinder Alarm und unterlassener Alarm. Fehler 1. und 2. Art werden auch als frequentistische Konzepte bezeichnet.[1] Das Konzept des Fehlers 1. und 2. Art wurde von Neyman und Pearson eingeführt.[2]
+
* Fehler 1. Art ('''Alpha-Fehler'''): die Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimm.
−
 
+
* Fehler 2. Art ('''Beta-Fehler'''): die Hypothese wird angenommen, obwohl sie nicht stimmt.
−
''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistische-testverfahren-41922 </u>''
 
−
4. Gedankenfolge bei der Durchführung von Testverfahren, dargestellt für punktuelle Parameterhypothesen: Es wird zunächst eine kleine (z.B. 0,05) Wahrscheinlichkeit α dafür festgelegt, dass Ho fälschlich abgelehnt wird (Signifikanzniveau, Alpha-Fehler). Die Menge aller möglichen Stichprobenresultate wird in zwei Teilmengen derart zerlegt, dass der einen Teilmenge, der kritischen Region, bei Gültigkeit von Ho eine Wahrscheinlichkeit von höchstens α zukommt. Die Zerlegung erfolgt auf der Grundlage einer Prüfvariablen, z.B. dem Stichprobendurchschnitt bei der Prüfung eines Erwartungswertes. Liefert die Stichprobe einen Befund aus der kritischen Region, wird Ho beim Signifikanzniveau α abgelehnt, sonst beibehalten. Neben dem Risiko eines Alpha-Fehlers besteht auch das Risiko eines Beta-Fehlers, also der fälschlichen Beibehaltung von Ho.
 
−
 
 
−
''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/alpha-fehler-27459 </u>''
 
−
Alpha-Fehler
 
−
Fehler erster Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein Alpha-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen Alpha-Fehler ist stets kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau α.
 
−
 
 
−
''<u>https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/beta-fehler-31627 </u>''
 
−
Beta-Fehler
 
−
Fehler zweiter Art; möglicher Entscheidungsfehler bei statistischen Testverfahren. Ein beta-Fehler liegt vor, wenn eine Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit eines beta-Fehlers hängt u.a. vom wahren Wert des zu prüfenden Parameters ab. Die supremale Wahrscheinlichkeit für einen beta-Fehler heißt Schärfe oder Power des entsprechenden Tests (s. Gütefunktion).
 
−
 
 
−
''<u>https://de.wikipedia.org/wiki/Statistischer_Test </u>'' = Hypothesentest
 
−
Ein statistischer Test dient in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisierungen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese wahr ist oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren. Meistens wird ein Hypothesentest in der Form eines Signifikanztests durchgeführt, der ein Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau ist.
 
−
 
 
−
;Mögliche Fehlentscheidungen
 
−
 
 
−
Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten „richtig“ entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung für die Alternative einen Fehler 1. Art (α-Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β-Fehler).
 
−
 
 
−
In der statistischen Praxis macht man aus diesem vordergründig symmetrischen Problem ein asymmetrisches: Man legt also ein Signifikanzniveau α fest, das eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art liefert. Tests mit dieser Eigenschaft heißen Test zum Niveau α {\displaystyle \alpha }. Im Anschluss daran versucht man, einen optimalen Test zum vorgegebenen Niveau dadurch zu erhalten, dass man unter allen Tests zum Niveau α einen sucht, der die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art aufweist.
 
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
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Microsoft Support, Stichwort:  
 
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<u>Literatur</u>
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<s><u>Literatur</u></s>
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* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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<!-- * Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s> -->
  
 
<u>Weblinks</u>
 
<u>Weblinks</u>
  
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* [
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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehler_1._und_2._Art Fehler 1. und 2. Art bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
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NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
+
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistische-testverfahren-41922 Statistische Testverfahren bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
−
* [
 
−
NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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Wikipedia, Stichwort:  
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
 
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Grundlagen Statistik, Stichwort:
 
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=== Fehler 1. Art (Alpha-Fehler) ===
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
 
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''Hauptartikel-> [[]]''
 
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* Synonyme: ''[[]]''
 
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''siehe auch-> [[]]''
 
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'''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
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* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/beta-fehler-31627 Beta-Fehler bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
  
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<s><ref>
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''<u> </u>''
 
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''<u>eigene </u>''
 
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''NN''<ref>Aus
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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<math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
 
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| [[Variable]]
 
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<u>Excel</u>
 
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
−
Microsoft Support, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
−
 
 
−
<u>Literatur</u>
 
−
* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
 
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
 
−
 
 
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<u>Weblinks</u>
 
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* [
 
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NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
 
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Wikipedia, Stichwort:
 
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=== Fehler 2. Art (Beta-Fehler) ===
 
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
 
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''Hauptartikel-> [[]]''
 
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* Synonyme: ''[[]]''
 
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''siehe auch-> [[]]''
 
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<math> {NN} = \frac{a}{b}</math> '''lä''' [[Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik]]
 
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<u>Excel</u>
 
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
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Microsoft Support, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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<u>Literatur</u>
 
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* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
 
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* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
 
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<u>Weblinks</u>
 
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NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;
 
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NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;
 
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* [
 
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NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;
 
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Wikipedia, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort:
 
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Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort:
 
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=== mm ===
 
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<!-- Bei Änderung Überschrift in [[NN]], [[MM]] ändern. -->* ''Weiterleitung'':
 
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''Hauptartikel-> [[]]''
 
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* Synonyme: ''[[]]''
 
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''siehe auch-> [[]]''
 
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'''fe <!-- erg (zT) ok -->'''
 
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| [[Variable]]
 
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<u>Excel</u>
 
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* NN lässt sich in Excel mit der Funktion <s>VAR.P()</s> ermitteln.<ref>[
 
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Microsoft Support, Stichwort:
 
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], abgefragt 3.2.2024.</ref>
 
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<u>Literatur</u>
 
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* Falkenberg (1975), S. <s>17;</s>
 
−
* Hackl ua (1982), S. <s>17;</s>
 
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Grundlagen Statistik, Stichwort:  
 
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Aktuelle Version vom 30. März 2024, 07:24 Uhr

Seite aus Benutzer:Peter Hager/Baustelle/Diverse Hinweise#Statistik (31.1.2024) lö

Kurzinfo! 

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Begriff (lö)

 ok

Statistik'[1] ist eine auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basierende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. [2]

Die Statistik beschäftigt sich mit unter gleichen Rahmenbedingungen wiederholt beobachtbare Vorgänge (Massenphänomenen). Ihre Aussagen sind auf die Grundgesamtheit gerichtet. Meist werden nicht alle Objekte und ihre Ausprägungen erhoben (Vollerhebung), sondern nur eine Stichprobe.[3]

Wissenschaftliche Einordnung

Hlf Wi (lö)

 ok

Die Statistik bildet gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie die Stochastik.[4] Sie stellt aber auch einen eigenständiger Teilbereich der Mathematik (Mathematische Statistik) dar.[5] Die Statistik wird als Hilfswissenschaft von allen empirischen Disziplinen und Naturwissenschaften verwendet, zB Ökonometrie.[6]

Die Statistik wird manchmal unterteilt:

  • beschreibende Statistik (deskriptive Statistik): In der beschreibenden Statistik sammelt man Daten über Zufallsgrößen, stellt die Verteilung von Häufigkeiten graphisch dar und charakterisiert sie durch Lage- und Streuungsmaße. Die Daten gewinnt man aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in einer Grundgesamtheit geben soll. [7]
  • beurteilende Statistik (schließende Statistik): In der beurteilenden Statistik versucht man, aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse über die Grundgesamtheit zu ziehen. Man erhält dabei Aussagen, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind. Diese Unsicherheit wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Dieses Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen sind typische Aufgaben der beurteilenden Statistik. [8]

Stochastik

  • Weiterleitung: Stochastik

 (zT) ok

Stochastik [9] ist der Oberbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. WahrscheinlichkeitsrechnungLemma? und für Statistik . [10] Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Weblinks

[11] [12] [13] [14] [15]

Ökonometrie

  • Weiterleitung: Ökonometrie

 ok

Die Ökonometrie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das die ökonomische Theorie sowie mathematische Methoden und statistische Daten zusammenführt, um wirtschaftstheoretische Modelle empirisch zu überprüfen und ökonomische Phänomene quantitativ zu analysieren. [16]

Weblinks

Wahrscheinlichkeitstheorie

  • Weiterleitung: Wahrscheinlichkeitstheorie
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

 ev erg

Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse von zufälligen Phänomenen ev Hinweis Wahrscheinlichkeit beschäftigt.[17]

Die Wahrscheinlichkeitstheorie nützt das Wissen über alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, auch Grundgesamtheit genannt, um auf die Wahrscheinlichkeit besonderer Ergebnisse zu schließen. Die Statistik versucht den umgekehrten Weg zu gehen, indem sie eine endliche Zahl an Beobachtungen verwendet, um einen Schluss über die ganze Grundgesamtheit zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hilft diese Schlüsse zu überprüfen und stellt Richtlinien für den Experimentaufbau zu einer bestimmten Frage auf. [18]

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind:[19]

Weblinks

[20] [21] [22] [23] [24]

Kombinatorik

  • Weiterleitung: Kombinatorik

 (zT) ok

Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Kombinatorik werden Anzahlberechnungen von möglichen Kombinationen durchgeführt.[25] Ein Hilfsmittel ist das Urnenmodell.

Weblinks

nn

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[26]

NN[27]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[28]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[29] [30] [31] [32] [33]

Bedeutung

 ok

Wichtige Kenngrößen

 ok

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen. [34]

Arten:

Lageparameter

Hauptartikel-> Lageparameter


 ok

Lageparameter geben Auskunft über die Ausprägung (Lage) einer Variablen.

Mitte der Datenmenge
Hauptartikel-> Mittelwert, Median, Modalwert

Um rechnen zu können müssen Daten konkretisiert werden, dazu orientiert man sich idR an der Mitte. Dazu bieten sich an:

Extremwerte
Hauptartikel-> Extremwert

siehe auch-> Spannweite

Extremwerte sind das Minimum und das Maximum.

Ausreißer
Hauptartikel-> Ausreißer

Ausreißer sind Werte, die sich von den anderen Werten der Stichprobe abheben. Sie haben normalerweise beträchtlichen Einfluss auf die Berechnung statistischer Kenngrößen und Modelle (vgl. z.B. Hebeleffekt in der linearen Regression) und sollten in den meisten Fällen entfernt werden.[35]

Quantil
Hauptartikel-> Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß, das in der Wahrscheinlichkeitsverteilung links die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und rechts die Wahrscheinlichkeit [math]{1-p}[/math] angibt. [36] Im Box-Plot ist das untere und obere Quartil als Endpunkte der Box ersichtlich.

Spezielle Quantile sind:

  • Median p = 50%
  • Quartil: p = 25%, 50%, 75%, 100%
  • Perzentil: Wahrscheinlichkeit steigt in Prozentschritten.
Darstellung (Box-Plot)
Box-Plot; ex Wikimedia, erst. RobSeb
Hauptartikel-> Box-Plot
  • Synonyme: Kastengrafik, Schachteldiagramme

Box-Plots (Kastengrafik, Schachteldiagramme) enthalten die wichtigsten Parameter einer univariaten Verteilung.

Streuungsparameter

Hauptartikel-> Streuungsparameter
  • Synonyme: Streuungsmaß

ok

Die Streuungsparameter (Streuungsmaße) sind Meßzahlen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.

Wichtige Streuungsparameter:

  • Varianz,
  • Standardabweichung,
  • Variationskoeffizient,
  • Interquartilsabstand und
  • Spannweite.
Varianz
Hauptartikel-> Varianz

Die Varianz ([math]\sigma^2[/math]) ergibt sich aus der quadratischen Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert.

Standardabweichung
Hauptartikel-> Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\sigma [/math] ist die Wurzel der Varianz.

Variationskoeffizient
Hauptartikel-> Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient [math]{VCo} [/math] ist das Verhältnis zwischen Standardabweichung und (arithmetischem) Mittelwert.

Interquartilsabstand
Hauptartikel-> Interquartilsabstand

siehe auch-> Box-Plot

Der Interquartilsabstand [math]{IQA} [/math] stellt den Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil dar. In seiner Mitte befindet sich der Median. Er enthält genau 50% der Datensätze.


Spannweite
Hauptartikel-> Spannweite

siehe auch-> Extremwert

Die Spannweite [math] R [/math] zeigt die Abweichung zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Erwartungswert

Hauptartikel-> Erwartungswert


 ok

Der Erwartungswert spiegelt den durchschnittlichen Wert der Ausprägungen einer Zufallsgröße wider.[37] Der Erwartungswert berechnet sich als nach der Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. [38]

Gestaltparameter

Hlf (lö)

  • Weiterleitung: Gestaltparameter

  ok

Folgende Parameter geben auskunft über die Gestalt:

Schiefe

  • Weiterleitung: Schiefe (Statistik)

 (zT) ok
Linksschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.
Rechtsschief; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Schiefe ist in der Statistik die Bezeichnung für die Eigenschaft einer Verteilung Klammer lö oder verlinken (Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichtefunktion), asymmetrisch zu sein. Man unterscheidet rechtsschiefe (linkssteile, positive Schiefe) und linksschiefe (rechtssteile, negative Schiefe) Verteilungen (Diagramme). [39] rechts (rechtssteil, linksschief) oder nach links (linkssteil, rechtsschief)

Die Schiefe kann anhand einer Stichprobe geschätzt werden.[40]

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.</ref>

  • rechtsschief: [math]x_\text{mod} \lt x_\text{med} \lt \overline{x} [/math]
  • symmetrisch: [math]x_\text{mod} = x_\text{med} = \overline{x}[/math]
  • linksschief: [math]x_\text{mod} \gt x_\text{med} \gt \overline{x}[/math]

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, also eine Schiefe von null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Literatur erg oder lö

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

Wölbung

  • Weiterleitung: Wölbung (Statistik)

 (zT) ok
Steilgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.
Flachgipflig; ex wikimedia, erst. PhysikingerC.

Die Wölbung (Kurtosis) ist eine Maßzahl für die Steilheit / flachheit einer unimodalen (eingipfligen) Verteilung.[41] Die Differenz der Wölbung der betrachteten Verteilung zur Normalverteilung wird als Exzess bezeichnet.

Literatur erg oder lö

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

mm

  • Weiterleitung: 

fe

Grundgesamtheit / Stichprobe

Hlf Grges

  • Weiterleitung: 

fe

eigene

Berechnung[42]


Literatur

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[43] [44] [45] [46] [47]

Grundgesamtheit

  • Weiterleitung: Grundgesamtheit

 (zT) ok

https://de.wikipedia.org/wiki/Grundgesamtheit

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/grundgesamtheit-35039

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html


eigene Eine Grundgesamtheit ist die Menge aller möglichen Objekte über die man im Zuge einer statistischen Erhebung eine Aussage machen möchte. Die Größe der Grundgesamtheit kann begrenzt oder unbegrenzt sein. Die Grundgesamtheit, die die Grundlage einer statistischen Untersuchung bildet, muss immer exakt definiert sein (was manchmal gar nicht einfach ist). Nur so ist es möglich, vergleichbare Ergebnisse zu bekommen. Am besten man definiert neben den sachlichen Bedingungen ("was soll untersucht werden") auch noch die örtlichen und zeitlichen Rahmenbedingungen.[48]

Die Grundgesamtheit kann erhoben werden:

  • Vollerhebung oder
  • Stichprobe.

Berechnung[49]

Literatur

Weblinks

[50] [51] [52] [53] [54]

Stichprobe

  • Weiterleitung: Stichprobe 

 (zT) ok

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe

Auswahlverfahren
Zufallsauswahl
Bewusste Auswahl
Willkürliche Auswahl

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stichprobe-44243

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilerhebung-47171

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/teilgesamtheit-48910

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/zufallsstichprobe-49501

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_population.html Grundgesamtheit und Stichprobe

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sampling.html Repräsentative Stichproben

eigene http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_sample.html Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit; ihre Größe ist immer begrenzt. [55]

Die Formeln der Grundgesamtheit gelten nicht für die Stichprobe. [56]

Eine Stichprobe muss nicht notwendigerweise für eine Grundgesamtheit repräsentativ sein. Eine repräsentative Stichprobe zeigt dieselben Eigenschaften wie die Population. [57]

Auswahl der Stichprobe:[58]

  • Zufallsstichprobe
  • systematische Auswahl
  • willkürliche Auswahl

Bei einer Zufallsauswahl (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl oder Random Sample genannt) hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare (meist die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen (Einschlusswahrscheinlichkeit). Eine Zufallsstichprobe ist notwendig, wenn die Stichprobe repräsentativ sein soll.[59] Aus einer repräsentativen Stichprobe kann eine Hochrechnung, dh eine geschätzte Extrapolation eines Gesamtergebnisses aus einem Teilergebnis, vorgenommen werden.

Bei einer systematischen Stichprobenziehung werden bereits bekannte Informationen über die auszuwählenden Fälle genutzt,[60] zB wenn die Kundenwünsche erhoben werden sollen, kann man sich auf die Zielgruppe beschränken.

Bei willkürlichen Stichproben werden Elemente aus der Grundgesamtheit (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willkürlich in die Stichprobe aufgenommen, oft gemäß Praktikabilität. Die Auswahl liegt im Ermessen der Forschers (der Fragesteller sucht beispielsweise einzelne Passanten aus) oder der Probanden (die Befragten nehmen aus eigenem Antrieb an einer Befragung teil, siehe Selbstselektion). Stichproben mit willkürlichem Auswahlprinzip werden oft gewählt, da sie mit dem geringsten Aufwand und den geringsten Kosten verbunden sind, weisen aber oft große Verzerrungen auf. [61]

Berechnung[62]

Literatur

Weblinks


mm

  • Weiterleitung: 

fe

FS

(Wahrscheinlichkeits)Verteilung

Hlf Vert (lö)

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung Verteilung steht für:

  • Verteilung einer Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe Wahrscheinlichkeitsmaß

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_einer_Zufallsvariablen Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ermöglicht es, aus einem „zu großen“ stochastischen Modell Informationen zu extrahieren und diesen wieder sinnvolle Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ein Beispiel hierfür ist eine Lotto-Ziehung: Bei der Modellierung werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Zahlenkombination definiert. Man ist jedoch im Allgemeinen nicht an der Wahrscheinlichkeit interessiert, exakt eine bestimmte Zahlenfolge zu ziehen, sondern daran, wie groß die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“ ist. Man definiert dazu eine Zufallsvariable, welche die Informationen „Anzahl der Richtigen“ extrahiert. Die Verteilung dieser Zufallsvariablen gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass man „n Richtige“ gezogen hat.



https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß Ein Wahrscheinlichkeitsmaß dient dazu, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu quantifizieren und Ereignissen, die durch Mengen modelliert werden, eine Zahl im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} zuzuordnen. Diese Zahl repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeit, mit der das durch die Menge beschriebene eintritt. Man verwendet typischerweise die Notation P ( B ) = c {\displaystyle \mathbb {P} (B)=c}, um dem Ereignis B {\displaystyle B} die Wahrscheinlichkeit c ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle c\in [0,1]} zuzuordnen.

Eine einfaches Beispiel ist das Werfen eines fairen Würfels X {\displaystyle X}: Dem Ereignis X = 2 {\displaystyle X=2}, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird die Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 ) = 1 6 {\displaystyle \mathbb {P} (X=2)={\tfrac {1}{6}}} zugeordnet.

Das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zufallsverteilung, Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsgesetz.

Im Rahmen der Maßtheorie entsprechen die Wahrscheinlichkeitsmaße speziellen endlichen Maßen, die sich durch ihre Normiertheit auszeichnen.

Arten:

  • Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Mischformen

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/verteilung-47286 Statistik

Bezeichnung für eine empirische Häufigkeitsverteilung oder für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die etwa durch eine Verteilungsfunktion, eine Dichtefunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben wird.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_intro.html Entnimmt man nacheinander Stichproben aus demselben zufälligen Prozess, erhält man leicht voneinander abweichende Ergebnisse. Der Mittelwert dieser Ergebnisse und deren Verteilung sind normalerweise ein guter Indikator für den beprobten Prozess. Ein kurzes Beispiel soll dies verständlich machen:

Nehmen Sie an, ein Physiker bäckt einen Rosinenkuchen und gibt 75 Rosinen in den Teig. Nach Rühren des Teigs und Backen des Kuchens schneidet er genau ein Drittel des Kuchens ab. Weil dieser Physiker Langeweile hat, zerbröselt er das Stück und zählt die Rosinen darin - nur 19 der zu erwartenden 25 Rosinen werden gefunden. Nun stellt sich die Frage, die den Physiker letztlich davon abhält, den Kuchen zu essen: Wie stehen die Chancen, ein Stück dieser Größe mit weniger als 20 Rosinen zu bekommen?

Bevor Sie in ein statistisches Lehrbuch schauen, möchten Sie vielleicht selbst ein Experiment durchführen. Klicken Sie auf das interaktive Beispiel, um das Experiment zu starten!

Sie sehen, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Das Histogramm der Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen Anzahlen von Rosinen könnte wie folgt aussehen:

Wenn Sie den Prozess des Kuchenbackens oft genug wiederholen und Sie die Balken des Histogramms schmal genug auftragen, werden Sie schließlich eine glatte Verteilung erhalten:

Als Nächstes möchte unser Physiker wissen, wie die Chancen stehen, mehr als 30 Rosinen in dem Kuchenstück zu finden. Eine Eigenschaft von Verteilungsdiagrammen ist, dass die relative Fläche zwischen zwei Werten auf der x-Achse die Chance, dass das korrespondierende Ereignis eintritt, wiedergibt. In unserem Beispiel kann der Physiker eine vertikale Linie bei 30 Rosinen ziehen. Die relative Fläche oberhalb dieser Markierung gibt die Chance, mehr als 30 Rosinen im Kuchenstück zu finden, an (was anhand der Verteilungskurve ungefähr 10 % ist).

Manchmal ist es schwer, die relative Fläche zu bestimmen. Dann sollte man die Verteilungskurve so skalieren, dass sie eine Fläche von exakt 1.0 hat. Die Fläche unterhalb der Kurve stellt die Chance, dass ein Ereignis in diesen Bereich fallen kann, dar. Diese Kurve wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function, pdf) genannt:

Hinweis: Verwechseln Sie bitte das Skalieren der Fläche nicht mit dem Skalieren der y-Achse. Eine Verteilungskurve, die auf eine Fläche von 1.0 skaliert ist, hat nicht ein Maximum von 1.0; sehen Sie sich dazu auch das folgende interaktive Beispiel zur Erklärung an.

eigene

Berechnung[63]

NN[64]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[65]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[66] [67] [68] [69] [70]

Diskrete Verteilungen

  • Weiterleitung: Diskrete Verteilung
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Diskrete Verteilungen

→ Hauptartikel: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung

Als diskrete Verteilungen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf endlichen oder abzählbar unendlichen Grundräumen bezeichnet. Diese Grundräume werden fast immer mit der Potenzmenge als Mengensystem versehen, die Wahrscheinlichkeiten werden dann meist über Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert. Diskrete Verteilungen auf den natürlichen oder ganzen Zahlen können in den Messraum ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} eingebettet werden und besitzen dann auch eine Verteilungsfunktion. Diese zeichnet sich durch ihre Sprungstellen aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine diskrete (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung bzw. ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß in der Stochastik. Im Gegensatz zu den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaßen sind die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen leicht zu handhaben, da sie nur auf mathematisch „kleinen“ Mengen definiert sind. Dies verhindert einerseits das Auftreten von Paradoxien, wie sie der Satz von Vitali zeigt, und die damit verbundene Verwendung von komplexeren Mengensystemen wie der Borelschen σ-Algebra, andererseits kann dadurch auch auf die Verwendung von Integralen zugunsten der Verwendung von (endlichen oder unendlichen) Summen verzichtet werden.

Einfachstes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre ein Wurf mit einer möglicherweise gezinkten Münze: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet dem Ereignis „Die Münze zeigt Kopf“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Kopf zeigt. Ebenso ordnet sie dem Ergebnis „Die Münze zeigt Zahl“ eine Zahl zu, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass die Münze Zahl zeigt. Dem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit entsprechend summieren sich diese Zahlen zu eins auf.

Dieser Artikel behandelt Eigenschaften von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche für ebendiese charakteristisch sind. Für die allgemeinen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die auch für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten, siehe den Hauptartikel zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Definition

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn einer der folgenden drei Fälle gilt: 

   Sie ist auf einer endlichen Menge definiert (meist { 0 , 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n\}}).
   Sie ist auf einer abzählbar unendlichen Menge definiert (meist die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} }).
   Sie ist auf einer beliebigen Menge definiert, nimmt aber nur auf höchstens abzählbar vielen Elementen dieser Menge einen positiven Wert an. Das bedeutet, es existiert eine höchstens abzählbare Menge M {\displaystyle M} mit P ( M ) = 1 {\displaystyle P(M)=1} (meist die natürlichen Zahlen, eingebettet in die reellen Zahlen).

Zufallsvariablen, deren Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, werden auch als diskrete Zufallsvariablen bezeichnet.[1]

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/diskretes-merkmal-30369 in der Statistik Bezeichnung für ein quantitatives (metrisches) Merkmal mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Ausprägungen. Bei überabzählbar vielen möglichen Ausprägungen spricht man von einem stetigen Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_distri_uniform_discrete.html Diskrete Verteilungen

  • Bernoulliverteilung
  • Diskrete Uniforme Verteilung
  • Binomialverteilung
  • Hypergeometrische Verteilung
  • Poissonverteilung

eigene

Berechnung[71]

NN[72]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[73]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[74] [75] [76] [77] [78]

Stetige Verteilungen

  • Weiterleitung: Stetige Verteilung
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsmaß

Stetige Verteilungen

→ Hauptartikel: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung

Verteilungen auf den reellen Zahlen, versehen mit der borelschen σ-Algebra werden als stetige Verteilung bezeichnet, wenn sie stetige Verteilungsfunktionen besitzen. Die stetigen Verteilungen lassen sich noch in absolutstetige und stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Wahrscheinlichkeitsverteilung Die stetigen (Wahrscheinlichkeits)verteilungen, auch diffuse oder atomlose (Wahrscheinlichkeits)verteilungen bzw. Wahrscheinlichkeitsmaße genannt,[1] sind in der Stochastik eine große Klasse von häufig auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass kein isolierter Punkt eine große Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommt. Insofern bilden sie das Gegenstück zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die stetigen Verteilungen sind eng verbunden mit den absolutstetigen Verteilungen, aber nicht mit ihnen identisch. Sie sollten somit nicht verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P P auf den reellen Zahlen R \mathbb {R} , versehen mit der Borelschen σ-Algebra B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}.

Dann heißt P P eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Verteilungsfunktion F P {\displaystyle F_{P}} von P P stetig ist.

Äquivalent dazu ist, dass P P atomlos ist. Das bedeutet, es existiert kein x ∈ R x\in \mathbb {R} , so dass P ( { x } ) > 0 {\displaystyle P(\{x\})>0} ist.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stetiges-merkmal-45782 in der Statistik Bezeichnung für ein Merkmal, bei dem mehr als abzählbar unendlich viele mögliche Ausprägungen vorkommen können oder zumindest denkbar sind.

Beispiele: Länge, Gewicht, Zeitdauer.

Wegen der in der Praxis immer beschränkten Messgenauigkeit bleibt ein stetiges Merkmal theoretische Modellvorstellung.

Gegensatz: diskretes Merkmal.

http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/wrapnt536530_kontinuierliche_verteilungen.html

Kontinuierliche Verteilungen

  • Kontinuierliche Uniforme Verteilung
  • Normalverteilung
  • Lognormal-Verteilung
  • Cauchy-Verteilung
  • Exponentialverteilung
  • Weibullverteilung
  • Pareto-Verteilung

eigene

Berechnung[79]

NN[80]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[81]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[82] [83] [84] [85] [86]

mm

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[87]

NN[88]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[89]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[90] [91] [92] [93] [94]

Statistische Fehler

  • Weiterleitung: Alpha-Fehler, Beta-Fehler, Entscheidungsfehler, 

 (zT) ok

Eine Hypothese beizeichnet in der Statistik eine Annahme, die mit Methoden der mathematischen Statistik auf Basis empirischer Daten geprüft wird. Dabei können zwei Entscheidungsfehler unterlaufen:

  • Fehler 1. Art (Alpha-Fehler): die Hypothese wird abgelehnt, obwohl sie stimm.
  • Fehler 2. Art (Beta-Fehler): die Hypothese wird angenommen, obwohl sie nicht stimmt.

Berechnung[95]

Literatur

Weblinks

[96] [97] [98] [99] [100]

NN

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[101]

NN[102]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[103]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[104] [105] [106] [107] [108]

mm

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[109]

NN[110]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[111]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks


  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[112] [113] [114] [115] [116]

NN

  • Weiterleitung: 
Hauptartikel-> [[]]
  • Synonyme: [[]]

siehe auch-> [[]] 

fe

eigene

Berechnung[117]

NN[118]

[math] {NN} = \frac{a}{b}[/math] lä Benutzer:Peter_Hager/Praktische_Hilfen#Mathematik

Variable
= Ergebnis

[math] {NN} [/math] Variable

Excel

  • NN lässt sich in Excel mit der Funktion VAR.P() ermitteln.[119]

Literatur

  • Falkenberg (1975), S. 17;
  • Hackl ua (1982), S. 17;

Weblinks

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

[120] [121] [122] [123] [124]

Literatur

Gesetz

Erlässe

Fachgutachten

Fachliteratur

" *)mwN ausgeblendet finden sich weitere Literaturangaben

* Aschauer / Purtscher (2023), S. ;

  • Bachl (2018), S. ;
  • Drukarczyk / Schüler (2016), S. ;
  • Fleischer / Hüttemann (2015), S. ;
  • Ihlau / Duscha (2019), S. ;
  • Mandl / Rabel (1997), S. ;
  • WP-Handbuch II (2014), Rz. A ;
  • WPH-Edition (2018), Rz. A ;
  • Kruschwitz ua (2009), S. 56 ff;

Zu Lit Kruschwitz ua (2009): Kruschwitz ua, "Unternehmensbewertung für die Praxis", Schäffer-Poeschel 2009;


Judikatur

Unterlage(n)

Sortiert nach Dateiname

* Hager: Auffrischung mathematischer Grundkenntnisse, Basisseminar BFA, Datei:Mathematik-Auffrischung.pdf, Stand August 2023;

Folien

siehe auch -> Liste der verwendeten Literatur ev, Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole, Liste der verwendeten Formeln

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Statistik https://de.wiktionary.org/wiki/Statistik https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/statistik-45267

  • [

NN bei Wikipedia], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Gablers Wirtschaftslexikon], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Bundeszentrale für politische Bildung], abgefragt 3.2.2024;

  • [

NN bei Grundlagen Statistik], abgefragt 3.2.2024;

Einzelnachweise

  1. ↑ Von fr. "statistique" = (Staats)Wissenschaft", dieses baiert auf lat. "status" = "Stand, Beschaffenheit, Umstände, Verfassung"; Wiktionary, Stichwort: Statisik, abgefragt 3.2.2024.
  2. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stochastik, abgefragt 3.2.2024.
  3. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Statistik, abgefragt 3.2.2024.
  4. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 3.2.2024.
  5. ↑ Wikipedia, Stichwort: Mathematik, abgefragt 3.2.2024.
  6. ↑ Wikipedia, Stichwort: Statistik, abgefragt 3.2.2024.
  7. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Stochastik und Wikipedia, Stichwort: Deskriptive Statistik, beide abgefragt 3.2.2024.
  8. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Stochastik und Wikipedia, Stichwort: Mathematische Statistik, beide abgefragt 3.2.2024.
  9. ↑ Von altgr. "stochastikē technē" = "zum Zielen, zum Erraten gehörende Kunst"; Vgl. Wiktionary, Stichwort: Stochastik, abgefragt 3.2.2024.
  10. ↑ [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/stochastik-46334 Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Stochastik], abgefragt 3.2.2024.
  11. ↑
  12. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  13. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  14. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  15. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  16. ↑ Wikipedia, Stichwort: Ökonometrie, abgefragt 3.2.2024.
  17. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 3.2.2024.
  18. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 3.2.2024.
  19. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wahrscheinlichkeitstheorie, abgefragt 3.2.2024.
  20. ↑
  21. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  22. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  23. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  24. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  25. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Kombinatorik, abgefragt 3.2.2024.
  26. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  27. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  28. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  29. ↑
  30. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  31. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  32. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  33. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  34. ↑ Wikipedia, Stichwort: Parameter (Statistik), abgefragt 3.2.2024.
  35. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Ausreißer, abgefragt 10.2.2024.
  36. ↑ Wikipedia, Stichwort: Empirisches Quantil, abgefragt 10.2.2024.
  37. ↑ Kruschwitz u.a. (2009), S. 58.
  38. ↑ Vgl. Wikipedia, Stichwort: Erwartungswert, abgefragt 26.2.2024.
  39. ↑ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: Schiefe, abgefragt 3.2.2024.
  40. ↑ Formel vgl. Wikipedia, Stichwort: Schiefe (Statistik), abgefragt 3.2.2024.
  41. ↑ Wikipedia, Stichwort: Wölbung (Statistik), abgefragt 3.2.2024.
  42. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  43. ↑
  44. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  45. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  46. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  47. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  48. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  49. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  50. ↑
  51. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  52. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  53. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  54. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  55. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  56. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  57. ↑ Grundlagen Statistik, Stichwort: Grundgesamtheit und Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  58. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  59. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  60. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  61. ↑ Wikipedia, Stichwort: Stichprobe, abgefragt 3.2.2024.
  62. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  63. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  64. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  65. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  66. ↑
  67. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  68. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  69. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  70. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  71. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  72. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  73. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  74. ↑
  75. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  76. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  77. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  78. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  79. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  80. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  81. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  82. ↑
  83. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  84. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  85. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  86. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  87. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  88. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  89. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  90. ↑
  91. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  92. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  93. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  94. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  95. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  96. ↑
  97. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  98. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  99. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  100. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  101. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  102. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  103. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  104. ↑
  105. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  106. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  107. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  108. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  109. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  110. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  111. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  112. ↑
  113. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  114. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  115. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  116. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  117. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  118. ↑ Aus ], abgefragt 3.2.2024.
  119. ↑ [ Microsoft Support, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  120. ↑
  121. ↑ [ Wikipedia, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  122. ↑ [ Gablers Wirtschaftslexikon, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  123. ↑ [ Bundeszentrale für politische Bildung, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.
  124. ↑ [ Grundlagen Statistik, Stichwort: ], abgefragt 3.2.2024.

[[Kategorie:Mathematischer Begriff]]

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